本文档整理自课堂讲授及深入讨论内容，从捕食者-猎物（Lotka-Volterra）方程出发，系统介绍不变量（守恒量）的概念与验证、标准欧拉方法为何失效、以及保结构（辛）方法的原理与实现，并延伸到哈密顿系统的一般理论。

一、捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra 方程）

1.1 方程组

其中 $u = u(t)$ 是捕食者种群数量， $v = v(t)$ 是食饵（猎物） 种群数量，点号表示对时间 $t$ 求导。

1.2 生态学逻辑（老师课堂推导过程）

老师没有直接给出答案，而是通过生态循环的约束条件引导同学推断 $u$、 $v$ 各代表谁：

对照方程：

• $\dot{u} = u(v-2)$：当 $v > 2$ 时 $\dot{u} > 0$（捕食者增长）， $v < 2$ 时减少 ✓
• $\dot{v} = v(1-u)$：当 $u > 1$ 时 $\dot{v} < 0$（食饵减少）， $u < 1$ 时增加 ✓

1.3 自治方程（Autonomous Equation）

【术语】自治方程：右端函数不显含时间 $t$ 的微分方程。意味着系统的演化规律只由当前状态决定，不随时间本身变化。

自治方程的关键性质：在相平面（ $u$ - $v$ 平面）上，解曲线是封闭曲线（对于保守系统），对应两个种群的周期循环共存，任何一方都不灭绝。

1.4 流（Flow）的概念

对给定初值 $y_0 = (u_0, v_0)$，方程有唯一解 $y(t)$，它依赖于初值：

$\Phi_t$ 称为方程的流（Flow），可以理解为一个算子：将初始状态映射到 $t$ 时刻的状态。

老师："流的概念，就相当于是一个算子。给定一个初值之后，那就得到一个解。"

二、不变量（Invariant / 守恒量）

2.1 定义

若存在函数 $I(u, v)$，使得沿方程的真实解， $I$ 关于时间 $t$ 的导数恒为零：

则称 $I$ 为该方程组的一个不变量（守恒量）。

2.2 Lotka-Volterra 模型的不变量

该方程组的不变量为：

2.3 验证 $\frac{dI}{dt} = 0$（完整推导）

对 $I$ 关于 $t$ 求导，利用链式法则：

计算各偏导数：

代入方程组 $\dot{u} = u(v-2)$， $\dot{v} = v(1-u)$ ：

两项恰好相消，这是方程组结构的内在特性，不是巧合。

2.4 $I$ 的几何意义

$I$ 不是轨迹本身，而是相平面上的 "等高线标签"。

• 每一对 $(u, v)$ 对应一个数值 $I$，如同地图上的海拔高度
• 固定 $I = C$（某常数），在相平面上划出一条封闭曲线
• 不同的 $C$ 值对应不同大小的封闭曲线，如同一圈一圈的等高线

真实解的行为：由于 $\frac{dI}{dt} = 0$，从初值 $(u_0, v_0)$ 出发， $C_0 = I(u_0, v_0)$ 永远不变，解始终在那条封闭曲线上转圈。

三、标准欧拉法为何失效？

3.1 显欧拉法 vs 隐欧拉法的格式

显欧拉法：

两个分量同时用旧值更新。

隐欧拉法：

两个分量同时用新值，需要迭代求解。

3.2 数值实验结果

老师原话："你跑着跑着，原来你想的是让他是一个圈，但是他可能跑着跑着就没了，有可能是往外跑炸了。"

3.3 失效的根本原因：$I$ 被破坏

数值方法每走一步，计算出的 $(u_{n+1}, v_{n+1})$ 与真实解有误差。如果：

那么数值解就落到了另一条等高线上。下一步再偏移，再换一条圈……每步都在换圈，就形成了螺旋线：

• 每步 $I$ 略微增大（ $\varepsilon > 0$ ）→ 换到更大的圈 → 螺旋向外（显欧拉）
• 每步 $I$ 略微减小（ $\varepsilon < 0$ ）→ 换到更小的圈 → 螺旋向内（隐欧拉）

3.4 深层机制：面积与雅可比矩阵

雅可比矩阵（Jacobian Matrix）

对方程组 $\dot{u} = f_1(u,v)$， $\dot{v} = f_2(u,v)$ ，雅可比矩阵定义为：

对 Lotka-Volterra 模型计算（ $f_1 = uv - 2u$ ， $f_2 = v - uv$ ）：

雅可比矩阵的物理意义：描述系统在某一点的局部线性拉伸、旋转和变形。矩阵的行列式等于该映射对面积的缩放比例。

Liouville 定理

对于哈密顿（保守）系统，真实解的演化保持相平面面积：相空间中任意一块区域，随时间演化后形状可能改变，但面积不变。

这对应着系统的能量守恒——既不耗散也不增加。

数值方法的面积缩放

数值方法每走一步，相当于对状态做一次映射。以显欧拉法为例，映射近似为 $I + hJ$（ $I$ 为单位矩阵）：

对于保守系统，迹 $\text{tr}(J) = 0$（可以验证： $(v-2) + (1-u)$ 在平衡点处为零，但一般不为零；更精确的分析在辛结构层面），因此：

直觉理解

• 显欧拉：每步沿切线方向走，切线总是比弧线"偏外"一点，轨迹逐渐扩大。
• 隐欧拉：隐式方法"向内拉"，每步略微缩小，轨迹逐渐内缩。
• 面积保持：只有行列式恰好等于 1 的方法，才能让轨道老老实实在原等高线上运动。

四、保结构方法（Structure-Preserving Methods）

4.1 核心思想

若方程本身具有某种几何结构（不变量、保面积性、能量守恒等），数值方法在离散层面也应当保持这些结构，这类方法统称为保结构方法（也称几何积分方法 / 辛积分器）。

老师："如果离散完了之后，他能满足这个离散的不变量，那你说明你这个方法肯定好，基本上不太会去考虑它的稳定性，它肯定收敛。"

核心结论：离散不变量的存在 → 数值解自动稳定收敛，无需额外验证。

4.2 隐中点法（Implicit Midpoint Method）

格式

对 Lotka-Volterra 展开：

为什么能保结构？

时间对称性：将 $h \to -h$（时间反向），格式形式完全不变。这种对称性在数学上保证了其更新映射是辛映射——行列式精确等于 1，不多不少，相平面面积完全保持。

特点

4.3 分块欧拉法（Symplectic Euler / 辛欧拉法）

格式

普通欧拉对两个分量同时、同时间层更新；分块欧拉关键在于交错时间层：

写法 A（先更新 $v$，再用新 $v$ 更新 $u$）：

写法 B（先更新 $u$，再用新 $u$ 更新 $v$）：

注意：第一个方程计算完毕后，第二个方程立刻使用刚算出的新值，而不是继续用旧值。

老师写法（对 Lotka-Volterra）：

$$u_{n+1} = u_n + h\cdot f_u(u_n, v_{n+1})$$

$$v_{n+1} = v_n + h\cdot f_v(v_{n+1}, u_n)$$

为什么交错就能保结构？

分块欧拉的更新可以分解为两个三角形变换的复合，每个变换的行列式都是 1：

两个下（上）三角矩阵行列式都是 1，复合后仍是 1，面积精确保持。

特点

4.4 两种保结构方法对比

老师："你用隐中点可以，因为它是一个对称的，因为它对称，所以对应的，这就会出来一类方法，叫保结构方法。"

五、哈密顿系统（Hamilton System）

5.1 定义

哈密顿系统是经典力学中描述保守系统演化的通用框架。系统状态由两组变量描述：

• 广义坐标 $q$：位置类变量
• 广义动量 $p$：动量类变量

演化方程（正则方程）：

其中 $H(p, q)$ 是哈密顿函数，代表系统的总能量（动能 + 势能）。

5.2 核心特征

1. 能量守恒：沿真实解， $\dfrac{dH}{dt} = 0$ ，即 $H$ 是不变量。
2. Liouville 保面积定理：相空间中任意区域随时间演化，面积（体积）不变。
3. 辛结构：正则方程具有辛几何结构，这是比面积守恒更深层的几何性质。

5.3 典型例子：单摆问题（数值实验题目）

哈密顿函数（ $p$ 为角动量， $q$ 为摆角）：

正则方程：

数值实验要求：

• 分别用显欧拉和隐欧拉求解，观察相平面轨迹（应当是椭圆形封闭曲线，但欧拉法会失真）
• 再选一个稳定的保结构方法（如隐中点法、分块欧拉）求解，对比结果
• ⚠️ 不允许使用四级四阶龙格库塔（RK4）

5.4 Lotka-Volterra 与哈密顿系统的关系

Lotka-Volterra 方程表面上看不是标准的物理力学系统，但经过坐标变换（令 $x = \ln u$， $y = \ln v$ ）后，它等价于一个哈密顿系统，因此：

• 继承了"能量守恒"的类比性质（不变量 $I$ 的存在）
• 继承了"保面积"特性（Liouville 定理）
• 适用同一套保结构数值方法

六、方法选择总结与实践指南

6.1 判断是否需要保结构方法

6.2 不同场景的方法选择

6.3 核心规律（三条结论）

1. 显欧拉 → 能量人工增加 → 向外炸（面积扩张， $\det > 1$ ）
2. 隐欧拉 → 能量人工耗散 → 向内缩（面积收缩， $\det < 1$ ）
3. 辛方法 → 面积精确保持 → 轨道封闭（ $\det = 1$ ，不变量守恒）

老师总结："相容加稳定，一定收敛。如果有离散不变量，那就更直接——它必然稳定收敛。"